[알고리즘, BOJ] 11066 파일 합치기 - java

문제

소설가인 김대전은 소설을 여러 장(chapter)으로 나누어 쓰는데, 각 장은 각각 다른 파일에 저장하곤 한다. 소설의 모든 장을 쓰고 나서는 각 장이 쓰여진 파일을 합쳐서 최종적으로 소설의 완성본이 들어있는 한 개의 파일을 만든다. 이 과정에서 두 개의 파일을 합쳐서 하나의 임시파일을 만들고, 이 임시파일이나 원래의 파일을 계속 두 개씩 합쳐서 소설의 여러 장들이 연속이 되도록 파일을 합쳐나가고, 최종적으로는 하나의 파일로 합친다. 두 개의 파일을 합칠 때 필요한 비용(시간 등)이 두 파일 크기의 합이라고 가정할 때, 최종적인 한 개의 파일을 완성하는데 필요한 비용의 총 합을 계산하시오.

예를 들어, C1, C2, C3, C4가 연속적인 네 개의 장을 수록하고 있는 파일이고, 파일 크기가 각각 40, 30, 30, 50 이라고 하자. 이 파일들을 합치는 과정에서, 먼저 C2와 C3를 합쳐서 임시파일 X1을 만든다. 이때 비용 60이 필요하다. 그 다음으로 C1과 X1을 합쳐 임시파일 X2를 만들면 비용 100이 필요하다. 최종적으로 X2와 C4를 합쳐 최종파일을 만들면 비용 150이 필요하다. 따라서, 최종의 한 파일을 만드는데 필요한 비용의 합은 60+100+150=310 이다. 다른 방법으로 파일을 합치면 비용을 줄일 수 있다. 먼저 C1과 C2를 합쳐 임시파일 Y1을 만들고, C3와 C4를 합쳐 임시파일 Y2를 만들고, 최종적으로 Y1과 Y2를 합쳐 최종파일을 만들 수 있다. 이때 필요한 총 비용은 70+80+150=300 이다.

소설의 각 장들이 수록되어 있는 파일의 크기가 주어졌을 때, 이 파일들을 하나의 파일로 합칠 때 필요한 최소비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력

프로그램은 표준 입력에서 입력 데이터를 받는다. 프로그램의 입력은 T개의 테스트 데이터로 이루어져 있는데, T는 입력의 맨 첫 줄에 주어진다.각 테스트 데이터는 두 개의 행으로 주어지는데, 첫 행에는 소설을 구성하는 장의 수를 나타내는 양의 정수 K (3 ≤ K ≤ 500)가 주어진다. 두 번째 행에는 1장부터 K장까지 수록한 파일의 크기를 나타내는 양의 정수 K개가 주어진다. 파일의 크기는 10,000을 초과하지 않는다.

출력

프로그램은 표준 출력에 출력한다. 각 테스트 데이터마다 정확히 한 행에 출력하는데, 모든 장을 합치는데 필요한 최소비용을 출력한다.

문제풀이

알고리즘 선택 ― DP

탐욕(Greedy)는 앞에서 최적으로 보이는 선택이 뒤에서 최적이 되지 않을 수 있어 실패하게 된다. 따라서 구간 DP로 분할정복해야 하는 문제이다.

그니까 하위 문제를 아래와 같이 정의하자.

dp[i][j] = i번째 ~ j번째 파일을 하나로 합치는데 드는 최소 비용

 

위 정의에 따른다면 [i ~ k] 와 [k+1 ~ j] 두 구간을 먼저 합치고, 다시 그 두 결과를 합친다고 생각하여 점화식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

dp[i][j] = min{1<=k<j}(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sum(i, j)

이때, sum(i,j)은 i ~ j 구간의 총 파일 크기로 둘을 합치기 위해 필요한 추가 비용이다. [i ~ k]와 [k+1 ~ j]를 먼저 각각 최소 비용으로 합친 후 그 둘을 한 번 더 합치는 비용이 필요하다.

 

누적합

sum[i~j] 계산을 빠르게 하기 위해 누적합(prefix sum) 배열이 필요하다. dp분할정복 연산을 할 때마다 매번 추가 비용을 계산할 수는 없다.

for (int i = 2; i <= K; i++) {
    papers[i] = papers[i] + papers[i - 1];
}

 

자료구조 정의 및 입력

static int T;
static int K;
static int[] papers;

papers = new int[K + 1];
for (int i = 1; i <= K; i++) {
    papers[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
}

int[][] dp = new int[K + 1][K + 1];

for (int i = 2; i <= K; i++) {
    papers[i] = papers[i] + papers[i - 1];
}

특별히 입출력에 대해서 설명할 것은 없다.

풀이 구현

static void solutions(BufferedReader br) throws IOException {
    K = Integer.parseInt(br.readLine());

    StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

    papers = new int[K + 1];
    for (int i = 1; i <= K; i++) {
        papers[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
    }

    int[][] dp = new int[K + 1][K + 1];

    for (int i = 2; i <= K; i++) {
        papers[i] = papers[i] + papers[i - 1];
    }

    for (int gap = 1; gap < K; gap++) {
        for (int start = 1; start + gap <= K; start++) {
            int end = start + gap;
            dp[start][end] = Integer.MAX_VALUE;

            for (int mid = start; mid < end; mid++) {
                dp[start][end] = Math.min(dp[start][end], dp[start][mid] + dp[mid + 1][end] + papers[end] - papers[start - 1]);
            }

        }
    }

    sb.append(dp[1][K]).append("\n");
}

루프 세번을 통해서 원하는 구현을 할 수 있다.

정리

문제의 시간 복잡도는 O(K^3)이다. K의 입력 범위가 최대 500이므로 최대 1.25억번 연산이 필요할 수 있다. 즉 K가 최대 1000만 되어도 위 알고리즘으로는 해결할 수 없다.