[알고리즘, BOJ] 1766 문제집 - java

문제

민오는 1번부터 N번까지 총 N개의 문제로 되어 있는 문제집을 풀려고 한다. 문제는 난이도 순서로 출제되어 있다. 즉 1번 문제가 가장 쉬운 문제이고 N번 문제가 가장 어려운 문제가 된다.

어떤 문제부터 풀까 고민하면서 문제를 훑어보던 민오는, 몇몇 문제들 사이에는 '먼저 푸는 것이 좋은 문제'가 있다는 것을 알게 되었다. 예를 들어 1번 문제를 풀고 나면 4번 문제가 쉽게 풀린다거나 하는 식이다. 민오는 다음의 세 가지 조건에 따라 문제를 풀 순서를 정하기로 하였다.

N개의 문제는 모두 풀어야 한다.
먼저 푸는 것이 좋은 문제가 있는 문제는, 먼저 푸는 것이 좋은 문제를 반드시 먼저 풀어야 한다.
가능하면 쉬운 문제부터 풀어야 한다.

 

예를 들어서 네 개의 문제가 있다고 하자. 4번 문제는 2번 문제보다 먼저 푸는 것이 좋고, 3번 문제는 1번 문제보다 먼저 푸는 것이 좋다고 하자. 만일 4-3-2-1의 순서로 문제를 풀게 되면 조건 1과 조건 2를 만족한다. 하지만 조건 3을 만족하지 않는다. 4보다 3을 충분히 먼저 풀 수 있기 때문이다. 따라서 조건 3을 만족하는 문제를 풀 순서는 3-1-4-2가 된다.

문제의 개수와 먼저 푸는 것이 좋은 문제에 대한 정보가 주어졌을 때, 주어진 조건을 만족하면서 민오가 풀 문제의 순서를 결정해 주는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 문제의 수 N(1 ≤ N ≤ 32,000)과 먼저 푸는 것이 좋은 문제에 대한 정보의 개수 M(1 ≤ M ≤ 100,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 M개의 줄에 걸쳐 두 정수의 순서쌍 A, B가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이는 A번 문제는 B번 문제보다 먼저 푸는 것이 좋다는 의미이다.

항상 문제를 모두 풀 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 문제 번호를 나타내는 1 이상 N 이하의 정수들을 민오가 풀어야 하는 순서대로 빈칸을 사이에 두고 출력한다.

풀이

BOJ 1766에서는 위상정렬과 Priority Queue를 활용한다. 문제의 조건을 다시보자.

N개의 문제는 모두 풀어야 한다. = 완전 탐색
먼저 푸는 것이 좋은 문제가 있는 문제는, 먼저 푸는 것이 좋은 문제를 반드시 먼저 풀어야 한다. = Priority Queue
가능하면 쉬운 문제부터 풀어야 한다. = 위상 정렬

 

입력 및 초기화

문제 간의 관계를 입력받으면서 각 문제의 위상 차수를 계산해준다.

for(int i = 0; i < M; i++) {
    st = new StringTokenizer(br.readLine());

    int u = Integer.parseInt(st.nextToken());
    int v = Integer.parseInt(st.nextToken());

    g.get(u).add(v);
    degree[v]++; // 위상 차수 초기값 설정
}

자료구조

'먼저 푸는 것이 좋은 문제가 있는 문제는, 먼저 푸는 것이 좋은 문제를 반드시 먼저 풀어야 한다.'라는 조건이 아주 큰 힌트였다. 작업을 위해서 Queue를 사용해야 했지만, 작업 간의 우선순위가 데이터가 넣고 빠지는 과정 속에서 매번 반영되어야 하는 자료구조를 찾아야 하므로 Priority Queue를 이용한다.

그 후 위상 차수가 0인 문제의 번호들을 모두 넣어 초기화한다. 문제에서 주어진 우선순위(난이도는 1부터 N순으로 높아진다.)대로 최소 heap을 사용할 것이다.

PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();
for(int i = 1; i < N + 1; i++) { // 초기화
    if(degree[i] == 0) {
        pq.add(i);
    }
}

구현

1. 위상 정렬을 위해 pq에서 값을 하나씩 빼주며 연결된 노드들의 위상 차수를 낮춰주는 작업을 한다.

2. 낮춘 위상 차수가 0에 도달하면 문제를 풀 수 있는 상태가 된다. 따라서 pq에 넣어준다.

3. pq가 모두 빌 때까지 작업을 반복한다.

while (!pq.isEmpty()) {
    int now = pq.poll();
    for (int next : g.get(now)) {
        degree[next]--;

        if (degree[next] == 0) {
            pq.add(next);
        }
    }
    sb.append(now).append(" ");
}


System.out.println(sb);

전체 코드

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {

    static StringBuilder sb = new StringBuilder();
    static ArrayList<ArrayList<Integer>> g = new ArrayList<>();
    static int[] degree;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int M = Integer.parseInt(st.nextToken());

        for(int i = 0; i < N + 1; i++) {
            g.add(new ArrayList<>());
        }
        degree = new int[N + 1];

        for(int i = 0; i < M; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());

            int u = Integer.parseInt(st.nextToken());
            int v = Integer.parseInt(st.nextToken());

            g.get(u).add(v);
            degree[v]++; // 위상 차수 초기값 설정
        }

        PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();
        for(int i = 1; i < N + 1; i++) {
            if(degree[i] == 0) {
                pq.add(i);
            }
        }

        while (!pq.isEmpty()) {
            int now = pq.poll();
            for (int next : g.get(now)) {
                degree[next]--;

                if (degree[next] == 0) {
                    pq.add(next);
                }
            }
            sb.append(now).append(" ");
        }

        System.out.println(sb);
    }
}

시간복잡도

1 ~ N까지 모든 문제는 각각 한 번씩 pq에 추가되었다가 나가는 작업을 수행한다. heap의 데이터 추가 연산과 삭제 연산의 시간복잡도는 O(log n)이므로 위 문제의 시간복잡도는 O(n log n)이다.

위 문제의 입력 사이즈는 1 ≤ N ≤ 32,000 이다. 연산의 시간 여유는 충분하다.